# 固定正黏性 Burgers：Dirichlet／Neumann 基准理论审阅

这是独立解析／精确代数审阅，未修改或运行数值求解器，**不是 Lean 证明或程序执行认证**。可供页面和论文说明直接引用的索引是本文件；纯有理代数核对见 `algebra_checks.json`。

本轮主基准使用固定 `ν=1/10`、设计基点 `μ₀=1/5`、冻结目标权重 `q₀`，物理伴随采用正号 `L*λ=q₀`。原 `w=1+x,ν=1/20` 基准作为 secondary 保留，不能把两个目标的精确梯度混写。此 DN 节点中心格式不同于已有附录 D.3 的格心、两端 Dirichlet、Rusanov／limiter 实验；本理论没有替换原附录算子。

## 1. 连续模型、精确分支与目标

令 `z(x)=x(2−x)`，`u_μ(x)=1+μz(x)`，`x∈[0,1]`，固定 `ν>0`。源项为

\[
s(x;\mu,\nu)=u_\mu u_\mu'-\nu u_\mu''
=2\mu(1-x)(1+\mu z(x))+2\nu\mu.
\]

问题是

\[
R(u,\mu)=-\nu u''+(u^2/2)'-s(\mu,\nu)=0,
\qquad u(0)=1,\quad u'(1)=0.
\]

`u_μ` 逐项满足原方程和两个边界；`μ≥0` 时 `1≤u_μ≤1+μ`。目标权重在参数求导时冻结：

\[
J_w(\mu)=\int_0^1w(x)u_\mu(x)\,dx,
\qquad g_w=J_w'=\int_0^1w(x)z(x)\,dx.
\]

主基准设

\[
c_0=\frac{\nu+1+\mu_0}{2\nu+1+\mu_0},\qquad
\lambda_*(x)=x(1-c_0x),
\qquad q_0=-u_{\mu_0}\lambda_*'-\nu\lambda_*''.
\]

`q₀` 由基点数据构造后不随设计 `μ` 变化。`λ_*(0)=0`，且

\[
\nu\lambda_*'(1)+u_{\mu_0}(1)\lambda_*(1)
=\nu(1-2c_0)+(1+\mu_0)(1-c_0)=0.
\]

当 `ν=1/10,μ₀=1/5` 时，精确有理量为

\[
c_0=\frac{13}{14},\quad
q_0(x)=-\frac{57}{70}+\frac{51}{35}x+\frac{33}{35}x^2-\frac{13}{35}x^3,
\]
\[
J_{q_0}(\mu)=\frac{19}{140}+\frac{547}{2100}\mu,
\quad g_{q_0}=\frac{547}{2100},
\quad J_{q_0}(\mu_0)=\frac{493}{2625}.
\]

`λ_*` 是主基点处的物理伴随精确解；改变设计 `μ` 而冻结 `q₀` 后，通常不能继续把同一个 `λ_*` 当作新基态的伴随。secondary `w=1+x` 则有

\[
J_{1+x}=\frac32+\frac{13}{12}\mu,\qquad g_{1+x}=\frac{13}{12}.
\]

## 2. 线性化的构造式可逆性与连续正解唯一性

这里可用比基态单调性更一般的结论。给定 `b∈C¹([0,1])`、`b(1)>0`、`ν>0`，定义

\[
L_bv=(bv-\nu v')'=f,\quad v(0)=0,\quad v'(1)=0,
\qquad f\in C^0([0,1]).
\]

设 `F(x)=∫₀ˣf`、`Q(x)=∫₀ˣb/ν`、

\[
I=\int_0^1e^{-Q(t)}dt>0,\qquad
K=\int_0^1e^{-Q(t)}F(t)dt.
\]

一次积分后 `bv−νv'=c+F`，入口条件给

\[
v(x)=-\frac{e^{Q(x)}}\nu\int_0^xe^{-Q(t)}[c+F(t)]dt.
\]

出口条件唯一决定常数

\[
c\left[1+\frac{b(1)e^{Q(1)}}\nu I\right]
=-F(1)-\frac{b(1)e^{Q(1)}}\nu K.
\]

括号严格大于 1，因此该公式构造唯一 `C²` 解。公式与 ODE 给固定 `b,ν` 下从 `C⁰` 到带上述边界条件的 `C²` 空间的有界线性逆；没有输入“存在解”“传播关系”或“可逆”假设。

两份同源、同 DN 数据的严格正 `C²` Burgers 解 `u,v` 之差 `e=u−v` 满足 `L_b e=0`，`b=(u+v)/2∈C¹`、`b(1)>0`，故 `e=0`。所以精确分支 `u_μ` 在 `μ≥0` 时是**正经典解类中全局唯一的解**。此结论不覆盖任意弱解类或非正分支；实际上构造和正解唯一性也可延伸到 `μ>−1`，但下述单调能量与离散证书采用 `μ≥0`。

在精确分支上 `L=L_{u_μ}=-νv''+u_μv'+u_μ'v`。对 `v(0)=0,v'(1)=0`，精确分部积分为

\[
\int_0^1vLv
=\nu\int_0^1(v')^2+\frac12\int_0^1u_\mu'v^2
+\frac12u_\mu(1)v(1)^2.
\]

`μ≥0` 时右侧至少 `ν∫(v')²`。由 `|v(x)|²≤x∫₀ˣ(v')²` 可得 `‖v‖²_{L²}≤(1/2)‖v'‖²_{L²}`，故能量至少 `(2ν/3)‖v‖²_{H¹}`。这里的 coercivity 是真实混合边界的结果。

在 Banach 空间 `X={v∈C²:v(0)=0,v'(1)=0}` 与 `Y=C⁰` 上，`G(v,μ)=R(u_{μ₀}+v,μ)` 是光滑映射，`D_vG(0,μ₀)=L` 是上述有界同构。因此局部隐函数定理直接适用，构造局部唯一经典根图。它与显式 `u_μ` 分支相同。对于局部任意小 `C⁰` 源扰动，同样有局部根图；这是数学解映射，不证明某个 Newton 程序成功。

## 3. 伴随符号与边界归一化

对允许的状态变分 `v(0)=0,v'(1)=0`，Green 恒等式为

\[
\int_0^1\lambda Lv
=\int_0^1(-u\lambda'-\nu\lambda'')v
+[u\lambda v-\nu\lambda v'+\nu\lambda'v]_0^1.
\]

物理正号约定使用 `J−∫λR`，所以

\[
L^*\lambda=-u\lambda'-\nu\lambda''=w,
\quad\lambda(0)=0,
\quad\nu\lambda'(1)+u(1)\lambda(1)=0,
\qquad g_w=\int_0^1\lambda s_\mu,
\]
\[
s_\mu=2(1-x)(1+2\mu z)+2\nu,\qquad Lz=s_\mu.
\]

代码若使用 `J+ψᵀR`，其连续密度 `η` 满足 `L*η=−w`，`η=−λ`，梯度为 `−∫ηs_μ`。两套约定完全等价，不能只改伴随方程或只改梯度符号。

若把出口 `u'(1)=0` 作为显式约束，`J+∫ηR+βu'(1)` 的自由末端 `v'(1)` 系数为 `−νη(1)+β`，所以 `β=νη(1)=−νλ(1)`。离散代码乘子对应的物理出口值应为 `−ψ_BC/ν`。内部 PDE 密度候选是 `−ψ_i/h`；它的实际末格层见第 6 节。

## 4. 原节点中心格式与有限网格根证书

`N≥3`，`h=1/N`，`x_i=ih`。保存 `u₀=1`，未知量 `u₁,…,u_N`。原密度残差和三点出口约束为

\[
F_i=\frac{u_{i+1}^2-u_{i-1}^2}{4h}
-\frac\nu{h^2}(u_{i+1}-2u_i+u_{i-1})-s(x_i),\quad1\le i\le N-1,
\]
\[
B=\frac{3u_N-4u_{N-1}+u_{N-2}}{2h}=0.
\]

消去 `u_N=(4u_{N−1}−u_{N−2})/3`，得到 `N−1` 个自由节点的多项式映射 `F_h(y)`。全约束与消元模型的根及真实参数导数等价；消元只是证明工具，不能把原完整转置和出口乘子丢掉。

在精确采样 `y_*` 的约化 Jacobian `A₀` 上，普通行系数是

\[
(A_0)_{i,i-1}=-\nu/h^2-u_{i-1}^*/(2h),\quad
(A_0)_{i,i}=2\nu/h^2,\quad
(A_0)_{i,i+1}=-\nu/h^2+u_{i+1}^*/(2h).
\]

最后一行的非零系数严格为

\[
a_{N-1,N-2}=-\frac{2\nu}{3h^2}-\frac{u_{N-2}^*}{2h}-\frac{u_N^*}{6h},
\qquad a_{N-1,N-1}=\frac{2\nu}{3h^2}+\frac{2u_N^*}{3h}.
\]

假设 `0≤μ≤1/2,ν>0`，并且

\[
h<\frac{2\nu}{1+\mu}.
\]

所有相邻非对角系数严格负，矩阵不可约。普通内部行和为 `u_μ'(x_i)≥0`；第一行因 Dirichlet 列不在未知量中，其行和为 `ν/h²+u₂*/(2h)>0`；最后行和为 `(u_N*−u_{N−2}*)/(2h)=2μh≥0`。**不能把第一行和写成 `u_μ'(x₁)`。**

负最小值传播到严格第一行给离散最大值原理：`A₀v≥0 ⇒v≥0`。对齐次方程同时应用 `v` 和 `−v` 得零核，有限维可逆，并有非负逆；这直接证明所需的 M 矩阵结论。

`z_h` 的三点边界恰好精确，且所有约化 PDE 行满足

\[
(A_0z_h)_i=2\nu+2(1-x_i)(1+2\mu z_i-2\mu h^2)\ge2\nu,
\]

因为 `0≤μ≤1/2,h≤1` 使括号非负。因此

\[
A_0^{-1}\mathbf1\le z_h/(2\nu),\qquad
\|A_0^{-1}\|_\infty\le1/(2\nu).
\]

精确采样的 PDE 残差是

\[
r_i=2\mu^2h^2(x_i-1),\qquad
\|r\|_\infty\le2\mu^2h^2,
\]

出口残差为零。该符号和常数由四次通量多项式的中心差分误差精确得到。

令约化扰动 `δy` 的全节点延拓满足 `δu₀=0,δu_N=(4δy_{N−1}−δy_{N−2})/3`，故 `‖δu‖∞≤(5/3)‖δy‖∞`。直接逐行核算给

\[
\|A(y)-A(\tilde y)\|_\infty
\le\frac2h\|y-\tilde y\|_\infty.
\]

最后行差系数实际上是 `−(2δa+4δb)/(9h)` 和 `(8δa−2δb)/(9h)`，其行范数至多 `4‖δy‖∞/(3h)`；所以使用 `2/h` 是安全上界。

冻结 Newton 映射 `T(y)=y−A₀⁻¹F_h(y)`。设

\[
\rho=2\mu^2h^2/\nu,\qquad q=\rho/(\nu h)=2\mu^2h/\nu^2.
\]

在 `‖y−y_*‖∞≤ρ` 球内，`‖DT‖∞≤q`，且中心修正量至多 `ρ/2`。增加条件

\[
h\le\frac{\nu^2}{4\mu^2}\quad(\mu>0)
\]

便有 `q≤1/2`，映射把闭球映入自身且严格收缩。故球内有唯一实际离散根 `ŷ`，其全节点误差满足

\[
\|\hat u-u_\mu(x_i)\|_\infty\le\frac53\rho.
\]

球中每个 Jacobian 的 Neumann 逆界为

\[
\|A(y)^{-1}\|_\infty\le
\frac{1}{2\nu(1-q)}\le1/\nu.
\]

上述球内根也严格正：网格收缩条件给 `ν≥2μ√h`，所以 `ρ≤μh^(3/2)`，`(5/3)ρ≤5/6<1`（实际 `N≥3` 更小）；精确采样至少为 1。该结论不把球内唯一性扩大为全部离散根的唯一性。

`μ=0` 时采样残差严格为零，根就是常量 1，可直接使用 `A₀` 可逆性，不需除以 `μ²`。该证明给球内唯一性，不给所有离散非正／远处分支的全局唯一性，也不证明实际迭代程序进入此球。

主基准 `μ=.2,ν=.1` 同时满足上述条件的充分整数阈值为 `N≥16`；secondary `μ=.2,ν=.05` 为 `N≥64`。二者都还满足严格的 M 矩阵网格条件。阈值只属于此 DN 中心格式及参数，不能搬到原附录 D.3。

## 5. 目标二阶界与较弱的梯度收敛证明

此段权重 `w∈C²([0,1])` 在参数求导中固定，使用全节点梯形目标 `J_h`。根误差和梯形误差给实际目标值 `O(h²)`。例如 secondary 精确采样上

\[
J_h(u_\mu)=\frac32+\frac{13}{12}\mu-\frac\mu{12}h^2,
\qquad |J_h(\hat u)-J(\mu)|\le\frac52\rho+\frac\mu{12}h^2.
\]

有限网格根的 Jacobian 已可逆，所以普通有限维 IFT 构造该根的局部光滑参数分支，不需假设可微根。令 `v_h=∂_μŷ`，则 `A(ŷ)v_h=s_μ`，而

\[
A_0z_h-s_\mu=4\mu h^2(x_i-1).
\]

使用已证根误差、Jacobian 差界和实际逆界，得到完整可复核的较弱估计

\[
\|v_h-z_h\|_\infty
\le \frac{4\mu h^2}{\nu}+\frac{4\mu^2h}{\nu^2}=:E_v,
\qquad \|\partial_\mu\hat u-z\|_\infty\le\frac53E_v.
\]

真实全约束伴随满足 `A_fullᵀψ=−j`。因为只有源项显式依赖 `μ`，

\[
g_h=-\sum_{i=1}^{N-1}\psi_i s_\mu(x_i)
=j^T\partial_\mu\hat u.
\]

定义 `W_h` 为全节点梯形求和 `|w|`（入口变分为零，包含入口权重只会放大上界）。则

\[
|g_h-g_w|\le W_h\frac53E_v
+\frac{h^2}{12}\|(wz)''\|_\infty,
\qquad W_h\le\|w\|_\infty.
\]

所以固定参数和冻结光滑目标下，已证明 `g_h→g_w`，目前这个直接估计是 **O(h)**。对于 secondary，梯形多项式误差恰为 `−h²/12`，而 `W_h=3/2`，故可细化为

\[
|g_h-13/12|\le\frac52E_v+h^2/12.
\]

主 `q₀` 为固定三次多项式，满足该一般估计，极限为 `547/2100`。离散 `W_h` 不能无条件用连续 `‖w‖L¹` 直接替换；可以另加梯形绝对值误差界或只陈述 `W_h→‖w‖L¹`。

主基准还可给全显式有理上界。`q₀'=(51+66x−39x²)/35>0`，因此 `‖q₀‖∞=17/14`。`(q₀z)''=(261+90x−708x²+260x³)/35` 的三次 Bernstein 系数为 `261/35,291/35,85/35,−97/35`，非负基函数组成单位分解，故 `‖(q₀z)''‖∞≤291/35`。于是

\[
|g_h-547/2100|\le\frac{85}{42}E_v+\frac{97}{140}h^2,
\]
\[
\mu=1/5,\ \nu=1/10,\ N\ge16
\quad\Longrightarrow\quad
|g_h-547/2100|\le\frac{680}{21}h+\frac{7091}{420}h^2.
\]

这是保守的严格上界而非实际误差预测，不能用它声称二阶梯度已证。证明链完整保留局部参数根 IFT、实际 Jacobian、真实源项导数、全约束目标梯度和梯形求积。

**未证明：** 当前实验观察到的二阶 tangent／gradient 渐近阶、物理伴随密度全域强收敛阶、严格边界层下界及固定精度无限加密的执行性质。上述 O(h) 结论来自完整估计，不来自数值拟合；它无需先证明伴随场收敛。

## 6. 三点 Neumann 约束的真实末格乘子层

以代码加号 Lagrangian 乘子 `ψ₁,…,ψ_{N−1},β` 和梯形状态目标列 `j` 表示，完整状态最后一列的伴随方程给精确恒等式

\[
\beta=\left(\frac{2\nu}{3h}-\frac{u_N}{3}\right)\psi_{N-1}
-\frac{2h}{3}j_N.
\]

最后第二列消去 `β` 后为

\[
\left(-\frac\nu{h^2}+\frac{u_{N-1}}{2h}\right)\psi_{N-2}
+\left(\frac{2\nu}{3h^2}+\frac{2u_N}{3h}\right)\psi_{N-1}
=-j_{N-1}-\frac43j_N.
\]

只要另已建立相邻内部密度的迹极限 `−ψ_{N−2}/h→λ(1)`，并使用 `j=O(h)` 和已证状态有界性，以上两条精确等式便强迫

\[
-\psi_{N-1}/h\to\tfrac32\lambda(1),
\qquad -\beta/\nu\to\lambda(1).
\]

因此端点约束乘子归一化正确，但把所有 PDE 乘子直接除以 `h` 会在末个 PDE 节点产生系数 `3/2` 的层。主目标 `λ_*(1)=1/14`，相应候选末格值是 `3/28`，两者差 `1/28`。

这里没有先证明 `−ψ_{N−2}/h` 的迹极限，因而上述推论明确是**精确有限网格恒等式加迹极限的条件结论**。它解释现有数值层，不能单独冒充全域 L2 的严格下限或 O(√h) 定理。页面应展示 raw 密度与真实端点乘子；人工把末格再乘 `2/3` 后称为原始伴随全域二阶收敛，会改变所展示对象。

该差异与此三点强约束、节点 PDE 配点和普通梯形目标未组成 SBP／守恒边界配对有关。自然通量有限体积边界或新的 SBP 格式需要独立定义、求导与证明，本轮没有据此迁移算子。

## 7. 可公开的定理范围

1. 连续：`ν>0,μ≥0`，上述精确源与 DN 边界，存在精确正 `C²` 分支，正经典解类唯一；真实线性化有构造式逆，能量 coercive，局部源／参数根映射适用 IFT；冻结目标的真实连续伴随及梯度恒等式成立。
2. 离散：`N≥3,0≤μ≤1/2,ν>0`，严格 `h<2ν/(1+μ)`，且 `μ>0` 时 `h≤ν²/(4μ²)`；原中心通量密度残差和三点 Neumann 完整约束，存在唯一邻近球内精确根，给定二阶状态／目标界、实际逆界和较弱 O(h) 参数梯度一致性。
3. 证据层次：这是可逐式检查的解析证明及有理多项式核对；没有 Lean 内核证书，也没有认证 binary64、SciPy 稀疏解法或实际 Newton 程序的全执行。

最终检查清单：

| 项目 | 本次结论 |
|---|---|
| 固定正黏性、显式源项、DN 边界、精确正分支 | 解析逐项成立 |
| 连续线性逆、正经典解唯一性、能量、IFT 假设 | 已给完整解析证明 |
| 主 q₀ 冻结、物理／代码伴随两种符号 | 已核对，主精确梯度 547/2100；secondary 为 13/12 |
| 原中心格式／完整三点约束，M 矩阵、barrier、根球、逆界 | 已给条件完整解析证明；主 N≥16，secondary N≥64 |
| 主 q₀ 固定权重梯度一致性 | 严格 O(h) 上界已证，使用离散 W_h 或安全 sup 界 |
| 状态与实际目标值二阶一致性 | 上述根条件下已证 |
| 二阶 tangent／gradient 实验阶 | 数值证据；本次未证 |
| 末格 3/2 层 | 精确离散等式已证；推断极限需近端内部迹假设 |
| raw 场全域 L2 的 O(√h) 或严格下界 | 本次未证，不能由单条条件推论替代 |
| CLI 允许的其他 μ／ν／粗网格 | 数值可运行范围可能更大；没有扩大本定理范围 |
| Lean、binary64／完整算法认证 | 没有此类完成主张 |
| 原附录 D.3 同算子身份／迁移 | DN 拓扑另立；没有声称同算子或替换 D.3 |